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公理化集合论的建立，成功排除了集合论中.出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展。
于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次数学危机。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论)：
理查德悖论
培里悖论
格瑞林和纳尔逊悖论
悖论的解决
罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢?根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S;反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。
罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和NBG公理系统。
1908年，策梅罗(ErnstZermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔(AbrahamFraenkel)的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理(Axiomschemaofspecification)：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x);因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集;并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称为类，但是某些collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。 2/2 首页 上一页 1 2 |
